5.3 - Возможные решения задачи: количество

В первую очередь, речь идет о выяснении КОЛИЧЕСТВА возможных решений. Эта характеристика чрезвычайно важна для правильного распознания задачи как объекта интеллектуальной деятельности. Должна сказать, что многие родители почему-то склонны считать, что в практике ученика начальной школы абсолютное большинство задач – это задачи с единственным правильным решением. Верно, старые учебники были в основном так построены. Но вот то, что я сейчас вижу в учебниках младшей дочери, совершенно не соответствует этому представлению. С моей точки зрения, это хорошо.


Прежде чем мы начнем говорить конкретно, я бы хотела показать идеальную, собственно, схему, к которой хочется привести ребенка в конце концов. Ничего нет страшного в том, что «выстроится» такая схема в его голове не сразу. С чего-то надо же начинать. :)
 

Я прямо по этой схеме часто с младшей дочкой играю. :) Используя самую простую школьную математику. Схему мы еще не рисовали: ей всего 8 лет. (Рисование схем как особый вид метакогнитивной подготовки мы рассмотрим в дальнейшем отдельно.)
Но задачки я ей предлагаю из всех четырех конечных категорий: без решения, с единственным решением, с ограниченным количеством решений, с неограниченным количеством решений. Решать эти задачки я ей не разрешаю :). Только определить, сколько может тут быть правильных решений.

Единственная поправка, которую мне придется внести в определение этих задач позже, когда ребенок познакомится с разными разделами математики, будет заключаться в том, что в ряде случаев я добавлю опущенное на данном этапе определение к слову «число» - буду говорить «ЦЕЛОЕ число».

- Какое [целое] число больше десяти тысяч? (категория Г, бесконечно)

- Какое [целое] число меньше десяти? (категория Г! Ребенок уже знает, что существуют отрицательные числа)

- Какое целое число больше трех и меньше восьми? (категория В)

- Какое [целое] число больше трехсот и меньше восьми миллионов? (тоже категория В, хотя пересчитать все ответы ребенок пока не может :))

- Какое число больше восьми и меньше трех? (категория А)

- Какое число получится, если пятьсот двадцать три умножить на тысячу пятнадцать? (категория Б, тут важно, что подсчитать она этого пока не может. Но подобные задачки всегда предполагают ОДНО правильное решение).

Вот так и играем.


Надо сказать, что я в своих усилиях не одинока. Учебники ребенкины очень неплохо умеют знакомить детей с тем, как исходные данные задачи влияют на количество возможных в ней решений. Например, достаточно много привычных нам упражнений, состоящих из трех параметров (два любых определяют третий) задаются в учебниках со второй или даже третьей степенью свободы. То есть, задачи даются в такой последовательности:
 

 

В исходном виде у нас три первые задачки имеют единственное правильное решение, а четыре последние – неограниченное количество вариантов, которые создадут верное математическое выражение, то есть, будут правильным решением (исключение – первая «зеленая» задачка для ребенка, который еще не знаком с отрицательными числами: для положительных целых чисел количество комбинаций тут будет конечным. Но я не стану дальше постоянно оговариваться на эту тему, потому что без отрицательных чисел многие закономерности перестают правильно работать). С ребенком можно и нужно это обсудить.

Далее начинаются еще более интересные вещи: у «зеленых» задачек – вторая степень свободы, то есть, решая их, можно ОДИН - ЛЮБОЙ из неизвестных параметров выбрать любым. Но в тот момент, когда ребенок это сделал, задача меняется кардинально: она становится жестко определенной, с единственным правильным решением. «Оранжевая» задача и вовсе дает третью степень свободы, то есть, когда выбран один параметр, она превращается в «зеленую». Со своей второклассницей я пока теоретизирую на эти темы осторожно, без трудных обобщений. Но это только подготовка.
Вообще, задачи на основе системы из трех взаимозависимых параметров далеко не всегда устроены точно так же. Я бы советовала перед началом решения серии задач нового типа сначала анализировать этот тип в общем виде. Вот, например, тоже очень простой, но совершенно другой случай.

Задача с ограниченным количеством правильных решений. (Напомню, речь идет о целых числах).

А вот эта задача – с НЕограниченным числом правильных решений.

Если же определить какой-то из двух неизвестных параметров, то количество возможных решений задачи будет зависеть ОТ ЭТОГО ПАРАМЕТРА. Например:

У этой задачи нет правильного решения. Ни одного.

У этой задачи – бесконечное количество правильных решений.

У этой задачи (речь, напоминаю, идет о целых числах) – единственное правильное решение.

У этой задачи – ограниченное количество правильных решений.


А бывают еще трехпараметрические задания, где параметры совершенно не равноценны. Вот, к примеру, задания из программы по развитию ориентации в пространстве Реувена Фоерштайна:
 

Эта трехпараметрическая система из рисунков и слов описывает положение точки относительно стрелки (там возможны четыре варианта: слева, справа, впереди и позади). В каждой из приведенных трех рамок нужно добавить недостающий элемент. Легко видеть, что в первых двух рамках есть бесконечное множество разных вариантов добавления элементов.
 

 

Что же касается третьего задания, где нужно словом определить отношения, - его можно решить одним-единственным правильным образом...
 


Тема неисчерпаема. Я все время стараюсь заставить себя остановиться. Попробую сейчас. Напомню только, что правильная оценка задачи человеку будет нужна всегда. Даже, я бы отметила, чем дальше – тем больше. Особенно, когда задачи станут сложными, объемными, многокомпонентными. Когда работать придется, сначала вычленяя из них логически завершенные куски... Когда придется рассчитывать варианты... Когда... и так далее :). А начинается все с простых задачек с числами до ста, точечками и стрелочками. Но начавшись, не заканчивается. Потому что мы ВОСПИТЫВАЕМ ПОДХОД к задаче.

Пошли дальше, господа.
 

Поддержать проект

 

Если материалы сайта кажутся вам полезными, и вы заинтересованы в том, чтобы их как можно скорее стало больше, вы можете поддержать эту деятельность финансово.

Перевести деньги можно через систему PayPal. Обратите, пожалуйста, внимание: чтобы перевести деньги один раз, НЕ НУЖЕН свой собственный счет на PayPal! Достаточно иметь кредитную карточку.